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平面力系的平衡

   日期:2019-09-21     浏览:459    评论:0    
核心提示:平面力系的平衡一、概述按照力系中各力的作用线是否在同一平面内,可将力系分为平面力系和空间力系。若 各力作用线都在同一平面

平面力系的平衡

一、概述

 
 
按照力系中各力的作用线是否在同一平面内,可将力系分为平面力系和空间力系。若 各力作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系,称为平面汇交力系。若作用于物体上的 各力作用线在同一平面内,且任意分布,则该力系称为平面任意力系(简称平面力系)。例 如,悬臂吊车的横梁AB(图1_26)受载荷FQ,重力FP支座反力F^、F,A和拉力F的作用, 显然这些力构成一个平面力系。有些构件虽不是受平面力系的作用,但当构件有一个对称 平面,而且作用于构件的力系也对称于该平面时,则可以把它简化为对称平面内的平面力 系。如高炉加料小车上的受力,就可简化为料车对称平面内的平面力系(图1-27)。平面力 系是工程中最常见的力系,因此研究平面力系具有重要意义。

二、力的投影

1. 力在坐标轴上的投影 用有向线段AB表示力F,在力F作用线所 在的平面内任取一直角坐标:cO;y(图1-28)。从 力F的起点A和终点B分别向0:r轴做垂线, 得垂足则线段以,称为力Fx轴上的投 影,以X表示。同样,力F^轴上的投影为Y Fx、;y轴正向的夹角分别为《和心称为方 向角。由图可知:

j X = _Fcos a |y = Fcos j3 因为0

解,可得到两个正交分力R'。显然,投影XY的绝对值分别等于分力FdF,的大小。 但分力为矢量,二者不可混淆。需要指出的是,空间的一个力在任意平面上的投影均为 矢量。

为了便于计算,通常采用力F与坐标轴所夹的锐角计算余弦,并且规定:当力的投影从 始端a到末端6的指向,与坐标轴:KW正向相同时,投影值为正值,反之为负值。

当已知力F:r轴和^轴的投影XY时,由几何关系可求出F的大小和方向:

[F = V/Xr+Yr

^ y 1-8)

tan a = ^

式中a——力Fx轴所夹的锐角,力F的指向由XY的正负号确定^

2. 平面汇交力系合成的解析法

有一平面汇交力系(&,^,匙),汇交点为八,力系的合力为^'。在平面内取直角坐标系 :将合力卩和各分力心,^2,巧分别向轴投影,得其在x轴上的投影为X (图 1-29),即 X = ag,兄=以,X2 = acX3 — ad由图可知 ag = — eg又因

AC=JB_E,AD = EG所以,心=ac= 故得 ag = ab+ac — ad0

 

I-29合力投影定理

X=X1+X2+X3

y和分别为合力F和分力1^,_^,匙在^轴上的投影,同理可得: 将上述关系式推广到任意多个力的情况,可得:

(1-9)

即合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和,这就是合力投影定理。 算得合力的投影后,就可按下式求出合力的大小和方向,SP:


F= VX2+Y2 = 7(SX^2 + (S^)2

-<

Y

   

tan a =

X

   

式中cr^合力F:r轴所夹的锐角。合力指向由XY的正负号判定。

运用式1-10)计算合力F的大小和方向的方法,称为平面汇交力系合成的解析法。

三、平面力系向一点的简化

平面力系的简化,通常是利用力的平移定理,将力系向一点简化。

1.力的平移定理

设力F作用于刚体的A点,另任选一点B它与力F作用线的距离为^ (图1-30)。在 B点加上一对平衡力,和〃,且i^=FF?〃所组成的力系与力F等效。而 力,与力F等值、反向且作用线平行,构成力偶([圹),于是作用在A点的力F就与作用 B点的力,和力偶(?,圹)等效,力偶F,,)之矩等于力FB点之矩,即:

 
 
 
 
m = mB F 1-11)

可见,作用于刚体上的力F可平移到刚体上的任意点,但必须附加一个力偶,此力偶之 矩等于原来的力F对平移点之矩,这就是力的平移定理。

 
 
 
 
力的平移定理也是分析力对物体作用效果的一个重要方法。例如,图1-31U中转轴 上大齿轮受到力F的作用。为了分析力F对转轴的作用效应,可将力F向轴心O点平移。 根据力的平移定理,力F平移到O点时,要附加一力偶[图l-31(b)]。设齿轮节圆半径为 r则附加力偶矩为/« =心。由此可见,力F对转轴的作用,相当于在轴上作用一力?和一 力偶。这力偶使轴转动,力F'使轴弯曲,并使轴颈和轴承压紧,引起轴承压力。

1-31齿轮受力向轴心的平移

2.平面力系向一点的简化

设刚体上作用一平面力系^,心,…,F„[图1-32U)],将力系中各力向平面内任意一 0(称为简化中心)平移,按力的平移定理得到一个汇交于O点的平面汇交力系F/,F/, …,F/和一个附加的平面力偶系…,m3[图l-32(b)]。平面汇交力系可以合成为作 用于简化中心O点的一个合力F',矢量?等于力'iV…,F/的矢量和。由于巧',

• 19 •


分别与原力系中1^,匙,…,各力的大小相等,方向相同,所以有:

Ff = F, +[ + …+兄=

矢量,称为原力系的主矢[图l-32(c)]。

平面附加力偶系可以合成为一个力偶,此力偶的矩M0等于各附加力偶矩的代数 和,即:

M0 = wii + m2 H \-mn= ^ntj

而各附加力偶矩分别等于原力系中相应各力对简化中心O点的矩,即:

moCFi)/n2 = m0(F2) ,**• ,mn = m0(F„)

所以:

Mo = 2>o(F)

 
 
 
 
fo称为原力系的主矩[图l_32(c)]。


 


于是可得结论如下:平面力系向平面内任一点简化,得到一个力和一个力偶。此力称为 该力系的主矢,等于力系中各力的矢量和,作用于简化中心。此力偶的矩称为该力系对简化 中心的主矩,等于力系中各力对简化中心之矩的代数和。

应当指出,主矢?是原力系的矢量和,所以它与简化中心的选择无关。显然,主矩M 与简化中心的选择有关。选取不同的简化中心,可得不同的主矩(各力矩的力臂及转向变 化)。所以凡提到主矩,必须指明其相应的简化中心。

为了求主矢纩的大小和方向,建立直角坐标系xO_y[图l-32(c)]。根据合力投影定理得:

Xf - Xx +X2…+叉〃 =

Yf =[+^+-+1 =

于是主矢?的大小和方向可由下式确定:

Ff = Vixry~+(ry = )2 + (&)2

tan 6 =

式中WF'与工轴所夹的锐角,^的指向由X',Y'的正负号判定。


下面应用平面力系的上述简化结论,分析固定端约束及其约束反力的特点。所谓固定 端约束,就是物体受约束的一端既不能向任何方向移动,也不能转动。以一端插人墙内的杆 为例[图1-33U)],在主动力F的作用下,杆插人墙内部分与墙接触的各点都受到约束反力 的作用,组成一平面力系[图l_33(b)]。该力系向A点简化,得一约束反力Fka(通常用正 交的两分力表示)和一个力偶矩为的约束反力偶。图l-33(c)所示即为固定端

约束反力的画法。约束反力限制了杆件在约束处沿任意方向的移动,约束反力偶限制了杆

 
 
 
 
 
 
 
 
件的转动。

1-33固定端约束反力分析

3. 平面力系筒化结果的讨论——合力矩定理

由上述可知,平面力系向一点简化,可得一个主矢,和一个主矩M0

① 若,= 0,]\100,则原力系简化为一个力偶,其力偶矩等于原力系对简化中心的主 矩。由于力偶对其平面内任一点的矩恒等于力偶矩,所以在这种情况下,力系的主矩与简化 中心的选择无关。

② ,关0,Mo = 0,则,就是原力系的合力F通过简化中心。

③ 纩关0,]^00[图1-34U)],则力系仍可以简化为一个合力。为此,只要将简化所得 的力偶(力偶矩等于主矩)等效变换,使其力的大小等于主矢矿的大小,力偶臂d = M0/Ff 后转移此力偶,使其中一力作用于简化中心,并与主矢F'取相反方向[图l-34(b)],于是JF' 和抵消,而只剩下作用在O点的力F这就是原力系的合力[图l-34(c)]。合力F的大小 和方向与主矢,相同,而合力的作用线与简化中心的距离为:

d^Mo=^ (1-14)

合力作用线在O点的哪一边,可以由主矩M0的正负号来决定。

 
 
 
 
 
 
从上面的讨论可得平面力系的合力矩定理。由图l_34(c)可知,平面力系的合力F O点的矩为:

m0F) = Fd = M0

因主矩M0又等于力系中各力对O点之矩的代数和,即M0 = ^讲以兄),故:

m0F) = X>0F,) 1-15)

由于简化中心?是任意选取的,故上述结论适用于任一矩心。合力矩定理可表述如下: 平面力系的合力对作用面内任一点的矩,等于力系中各力对同一点之矩的代数和。

四、平面力系的平衡方程及应用

由上述可知,平面力系向一点简化后,若主矢,和主矩不全为零,原力系便可简化 为一个力或一个力偶,原力系便不可能保持平衡。可见,平面力系平衡的充要条件是:力系 的主矢,和力系对平面内任意点主矩M都等于零。由式1-11)和式1-12)得平面力系平 衡的解析条件为:即力系中各力在两个任选的直角坐标轴上投影的代数和分别等于0,且各力对平面内任意 点之矩的代数和也等于0。式1-16)称为平面力系的平衡方程,它包括两个投影方程和一 个力矩方程,在求解实际问题时,为了便于计算,通常选取未知力的交点为矩心,投影轴则尽 可能与该力系中多个力的作用线垂直或平行。.应当指出,对于同一个平面力系来说,最多只能列出3个独立的方程,因而只能求出3 个未知量。【例1-5】如图1-35U所示,水平托架承受两个管子,管重^^=2^=300 N,A,B,C 处均为铰链连接6 = 1 m不计杆的重量,试求A处的约束反力及支杆受的力。:(1)取水平杆AB为研究对象作用于水平杆上的力有管子的压力,它们大小 分别等于管子重量_PC2,铅垂向下;因杆重不计,故BC杆是二力杆,水平杆B处的约束 反力沿BC杆轴线,指向暂假设;铰链支座A处的约束反力方向未知,故用两正交分力 表示,水平杆的受力如图l-35(b所示。显然,这是一个平面力系,而且平衡。2)列平衡方程建立直角坐标系根据式1-16)有:= 0,F^ +Fbcos 30° = 0

= 0,F^ — [ -F2+FBsin 30° = 0
XA(JO = 0,~F1b-F23b + FB2bsin 30° - 0

由式c解得:

F\b  Fz3b — FGib + Fez36 — 300 + 300 X 3 26sin 30° = 2sin 30° 2 X 0. 5

^值代人式(a)得:

F^a =— F6cos 30° - 1 200 X 0. 866 =- 1 039 (N)

^值代入式(b)得:FyA = + F2 — FBsin 30° - 300 + 300 — 1 200 X 0_ 5 = 0


上述的计算结果中,为正值,表示假设的指向就是实际指向;为负值,说明假设的 指向与实际指向相反,即的实际指向为水平向左。

【例1-6】图l-36(a)所示悬臂梁AB作用有集度为《? = 4 kN/m的均布载荷及集中载 F=5kN已知Z = 3 m求固定端A的约束反力。

 

解:(1)取梁AB为研究对象梁上作用有均布载荷g;集中载荷F及固定端约束反力 FTA9FyA,mAo其受力如图l-36(b)所示,这是一个平衡的平面力系。

(2) 建立直角坐标系列平衡方程:

2^ = 0, F^a + Fsin a = 0

(a)

= 0,FyA  Fcos a — ql = 0

(b)

y^mA(F) = 0,mA — FZcos a — ql (如)= 0

(c)

由式(a) = —Fsin a = — 5 X sin 25°= —2. 113 (kN)

由式(b) FyA=Fcos a + ql=5Xcos 25。+ 4 X 3 = 16. 53 (kN)

由式(c) mA=FL cos a + ql yZ = 5X3Xcos 25° + 4X 3 X-| = 31. 59 (kN • m)

其中,为负值,表示假设的指向与实际指向相反。

五、平面平行力系的平衡方程

各力的作用线在同一平面内且互相平行,则称为平面平行力系


 
 
 
 
(1-18)

式中,AB两点的连线不能与各力的作用线平行。

由于平面平行力系只有两个平衡方程,因此只能求出两个未知量。

 
 
【例1-7】水平外伸梁如图1-38U)所示,已知均布载荷g = kN/m集中载荷F=20 kN力偶矩m = 16 kN • m,a = 0. 8 m,求支座A,B的反力。

(a)

1-38 1-7

•■⑴取梁为研究对象作用在梁上有集中载荷F均布载荷(以合力Fq等效代替, FQ =?作用在梁OA段中点),以及力矩为m的力偶和支座反力FaFb梁受力如图 l-38(b)所示,这是一个平衡的平面平行力系。

(2)建立坐标系:rO^,列平衡方程有:

2 Y = 0,— Fq — F + Fa + Fb = 0 (a)

mA (Fi) = 0 ,m -\- Fq — F2a FBa = 0 (b)

由式(b):

FB =- — -^- + 2F =-~- 20X0'8 + 2 X 20 = 12 (kN) a Z 0. o Z

将值代人式(a)得:

FA = _FQ + F—FB = 20 X 0.8 + 20 — 12 = 24 (kN)

此题也可根据式(1-18)列平衡方程求解,请读者自行解之。

 
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